II. ¿Que sistema de ecuaciones resuelve el problema?

Sistema de ecuaciones lineales

En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x₁, x₂ y x₃ que satisfacen las tres ecuaciones.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.

¿Qué son, cómo se resuelven y cómo se aplican los sistemas de ecuaciones?

1. Elige un método. Hay tres maneras de resolver un sistema de ecuaciones como este: por gráficos, sumando las dos ecuaciones, o mediante la sustitución de una ecuación en la otra.

• 1. El método gráfico es solo aproximado. No se debe utilizar a menos que específicamente se te diga que lo hagas.
     Puedes poner en un gráfico tus ecuaciones para comprobar tu trabajo, o para entender lo que estás haciendo.
• El método de sustitución es más rápido, si una de las ecuaciones ya tiene X o Y despejada en una parte de una de las ecuaciones.

Usando el método de la Adición

La idea aquí es crear una situación en la que, ya sean los términos 'X' o los términos 'Y', tengan los mismos coeficientes, pero de signo contrario. De esta forma, cuando las ecuaciones sean sumadas, una de las dos variables se cancelen.

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   Para ello, lo primero, alinea las dos ecuaciones, una debajo de la otra..
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   A continuación selecciona si deseas igualar el coeficiente de las 'X', o igualar el coeficiente de las 'Y'
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   Decide si conviene multiplicar la ecuación de arriba por algo, la ecuación de abajo por algo, o ambas ecuaciones por diferentes cantidades.
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   Decide por qué numero tienes que multiplicar, con el fin de que los coeficientes sean los mismos, y además, de diferentes signos.
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   Aplica los resultados de esas dos elecciones. Ve a la ecuación a la que has decidido alterar, y multiplica cada término de ambos lados de la ecuación por el número que descubriste que era necesario hacerlo.
   • ¡Cuidado con los signos!
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7. 7
   Por lo que la coordenada 'y' del punto donde las líneas se cruzarán será '-2'.
   Suma las dos ecuaciones.
   Resuelve el valor de la variable (en nuestro caso y=-2).
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   Ahora sustituye 'y' por '-2' en una de las dos ecuaciones originales.
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   Por lo tanto, las líneas se cruzarán en el punto (-1.-2).
   Escribe como resultado de las ecuaciones, el par de valores (x,y) de un eje de coordenadas, o escribiendo simplemente

x=..
y=..

1. Si has hecho todo correctamente, deberías haber obtenido la respuesta correcta, pero es aconsejable comprobar sustituyendo los valores de las respuestas en las ecuaciones y ver si las igualdades resultantes son correctas. Si la prueba falla, es decir, si al sustituir los valores de 'x' e 'y' correspondientes, las igualdades no son ciertas, es que has cometido un fallo en algún paso.

Usando el Método de Sustitución

1. Escribe las ecuaciones una al lado de otra, con algo de espacio en el medio.
2. Manipula una de las dos ecuaciones de forma que 'X' o 'Y' se quede sola (despejada) a una parte de la igualdad o ecuación (a menos que ya venga así).
3. Ve a la ecuación que tiene la 'x' o la 'y' despejada, y sustituye esa incógnita en la otra ecuación, es decir, esa 'x' o 'y' por el resto de la ecuación que está a la otra parte del signo igual, poniéndolo entre paréntesis.
   (En nuestro ejemplo ya teníamos la segunda ecuación con la 'x' despejada, y que, como vemos es igual a '2y-9'. En la segunda línea hemos sustituido en la primera ecuación la 'x' por '2y-9')
4. 
   
5. A partir de ese momento, tendremos una ecuación con paréntesis que tendremos que resolver, pero que solo tendrá una incógnita (en nuestro caso la 'y').
6. Para hallar su valor, debemos de tener en cuenta todas las reglas del álgebra, y de multiplicación de variables, así como tener en cuenta los signos de los distintos términos.
   En nuestro ejemplo vemos que
   'y=6'
   por lo que la coordenada 'y' del punto donde las dos líneas se cruzarán, será 6.
   Ahora sustituiremos la 'y' por un '6', en la ecuación donde la 'x' ya está despejada
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   obteniendo un '3', por lo que el punto donde las líneas se cruzarán, será (3,6)
8. Con todos los pasos anteriores, el trabajo ya está acabado, solo hay que presentar al final los resultados con los valores de 'x' e 'y'.
9. No hay que olvidarse de comprobar la bondad de los resultados obtenidos, sustituyendo en las ecuaciones los valores obtenidos de 'x' e 'y', y ver que las igualdades siguen siendo ciertas.

 Usando el Método Gráfico

1. Estate seguro de que ambas ecuaciones están en forma de de pendiente y que interceptan las coordenadas dentro del gráfico.
   • Por ejemplo:
     
     
2. Elige una ecuación.
3. Pon un punto en su interceptación con el eje de las 'y'
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   gráfica de y = 5/2 x + 8
   gráfica de y = 5/2 x + 8
   
   Para ello halla el valor de 'y', cuando 'x=0' (en el ejemplo anterior, será 8), y señala en el sistema de coordenadas, en el eje de las 'y', el valor 8 (8,0)
   .
5. A continuación, despeja la variable 'x' en esa misma ecuación.
   En nuestro ejemplo, obtendremos x=2y/5 - 16/5
6. Ahora, actuaremos como con la variable anterior. Calcularemos el valor de 'x' cuando 'y=0' (en nuestro ejemplo y= - 16/5. Este será el otro punto sobre el eje de las 'x' que necesitaremos para dibujar la recta que representa la ecuación original y= 5/2 x + 8. Véase la gráfica en la figura anterior.
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   gráfica de y=3/4x + 1
   En el gráfico anterior, se representa la otra ecuación de manera similar.
8. Identifica el punto donde las dos líneas se cruzan. En este caso, es en el punto (-4, -2).
9. Hasta ahora solo sabemos que la verdadera respuesta está en algún lugar cerca de (-4,-2). Es muy posible que sea (-4,-2) exactamente, pero no lo podemos asegurar solo viéndolo gráficamente. Realizar la comprobación (véase Avisos), es esencial si utilizamos el método de representación gráfica. Cuando la prueba dé un resultado correcto, la respuesta será tan válida, como cualquiera de los otros métodos. Si la prueba falla, puedes haber cometido un error en tus cálculos, o puedes haber tenido problemas para leer el lugar del punto donde se han cruzado las ecuaciones exactamente. En tal caso, habrás encontrado una aproximación, por lo que entonces se debe obtener el resultado con otro método, para calcularlo con exactitud.

III.¿como resolver el sistema de ecuaciones y en que casos se utilian en la vida cotidiana?

Los sistemas de ecuaciones sirven para resolver problemas aplicados a la vida diaria recuerda que las matematicas son fundamentales y todo lo que nos rodea son matematicas imaginate este problema

En una examen de 20 preguntas la nota de Juan ha sido un 8. Si cada acierto vale un punto y cada error resta dos puntos, ¿cuántas preguntas ha acertado Juan?, ¿cuántas ha fallado?.

Pasemos de inmediato a la primera fase. Una vez leído detenidamente el enunciado del problema y entendido éste, hay que tener claro qué es lo que se pregunta y cómo vamos a llamar a las incógnitas que vamos a manejar en la resolución del problema.

Está claro que las preguntas que hay que contestar son las del final del enunciado, es decir, cuántas preguntas ha fallado y cuántas ha acertado Juan. Llamemos entonces x al número de respuestas acertadas e y al de falladas.

En la segunda fase, hay que efectuar el planteamiento del problema. Atendiendo a las condiciones que nos propone el enunciado y a cómo hemos nombrado las incógnitas, tendremos las siguientes ecuaciones:


El número total de preguntas es 20, luego: x + y = 20
La nota es un 8 y cada fallo resta dos puntos: x - 2y = 8

Ya tenemos el sistema planteado, por tanto, pasamos a la tercera fase, es decir, la resolución del sistema. Para ello, podemos utilizar cualquiera de los métodos vistos en las secciones anteriores. Si aplicamos, por ejemplo, el método de sustitución tendremos:


De la segunda ecuación: x = 2y + 8 ;
sustituyendo en la primera:
2y + 8 + y = 20 ⇒ 3y = 12 ⇒ y = 12/3 ⇒ y = 4 ;
sustituyendo en la ecuación del principio: x = 16 .

Una vez halladas las soluciones del sistema, las traducimos a las condiciones del problema, es decir, tal y como habíamos nombrado las incógnitas, Juan ha acertado 16 preguntas y ha fallado 4. Podemos pasar pues a la cuarta fase que consiste en comprobar si la solución es correcta.

Si ha acertado 16 preguntas, Juan tendría en principio 16 puntos, pero, al haber fallado 4, le restarán el doble de puntos, es decir 8. Por tanto, 16 - 8 = 8 que es la nota que, según el enunciado del problema, ha obtenido. Luego se cumplen las condiciones del problema y la solución hallada es correcta y válida.

Referencia: http://es.answers.yahoo.com/question/index?qid=20080316181035AAO59I6

I. ¿Qué es un sistema de ecuaciones y que métodos de solución tiene?

En las matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que conforman un problema matemático consistente en encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones.

En un sistema de ecuaciones algebraicas las incógnitas son valores numéricos (o más generalmente elementos de un cuerpo sobre el que se plantean las ecuaciones), mientras que en una ecuación diferencial las incógnitas son funciones o distribuciones de un cierto conjunto definido de antemano. Una solución de dicho sistema es por tanto, un valor o una función que substituida en las ecuaciones del sistema hace que éstas se cumplan automáticamente sin que se llegue a una contradicción. En otras palabras el valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema.

Las incógnitas se suelen representar utilizando las últimas letras del alfabeto latino, o si son demasiadas, con subíndices.

Si bien para los sistemas de ecuaciones lineales existen multitud de técnicas del álgebra lineal, para los sistemas de ecuaciones no-lineales el problema es técnicamente bastante más difícil.

Métodos analíticos

Los métodos analíticos se restringen casi exclusivamente a sistemas de ecuaciones lineales.

Métodos numéricos

Las aplicaciones técnicas generalmente recurren a algoritmos numéricos que permiten calcular aproximaciones numéricas a las soluciones de un sistema de ecuaciones.

Métodos gráficos

Los métodos gráficos son didácticos e ilustrativos, aunque en general carecen de interés práctico en las aplicaciones técnicas de importancia. Además están restringidos generalmente a sistemas de dos o tres ecuaciones reales.

Referencia: http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones#M.C3.A9todos_de_resoluci.C3.B3n